Ce polynôme est donc une combinaison linéaire de la lettre d à la puissance du nombre de rond de chaque état, moins un — c’est dire que ce nombre est diminué d’une unité — combinaison dont les coefficients sont les produits des indices de chaque état.

Il est à noter que le bracket-polynôme de Kauffman est établi dans le cas d’un objet non orienté quant aux ronds. C’est un invariant de chaînes et de nœuds non orientés à isotopies régulières près. C’est dire qu’il est sensible aux boucles (B1).

À partir de ce polynôme, il est aisé d’en obtenir d’autres auxquels correspondent parfois différents calculs d’entrelacs (Skein Calculus), mais ce n’est pas toujours le cas.

Lui-même est le produit d’un calcul d’entrelacs qui autorise la définition que nous avons donnée.

À partir du polynôme du nœud trivial :

< K > = 1

Le lissage peut être rendu par la formule :

C’est ce que nous appelons un calcul d’entrelacs (Skein calculus).

Passons au polynôme correspondant à l’isotopie d’ambiance déduit du bracket polynôme de Kauffman.

Ce polynôme est un invariant des objets orientés quant aux ronds à isotopies d’ambiances près. Il ne lui correspond pas de calcul d’entrelacs :

où v(K) est la vrille — la somme de la caractéristique de tous les croisements — de l’objet K.

C’est une étape nécessaire pour atteindre le polynôme de Jones.

Le polynôme de Jones a été obtenu par une voie indépendante du bracket polynôme, mais il s’obtient du précédent par un changement de variable.

Ce polynôme est l’objet d’un calcul d’entrelacs, nous le donnerons plus loin.

Son mérite est de distinguer les deux nœuds trèfles, par exemple. Il a donné l’occasion de construire le polynôme de Homfly qui n’est que le polynôme de Jones à 2 variables et qui par contrecoup a fait voir son intérêt aux lecteurs du Bulletin de la société américaine de mathématique. Eux-mêmes ne s’en n’étaient pas rendu compte avant que quatre équipes différentes de mathématiciens aient produites en même temps le polynôme de Homfly. Nous signalons cette anecdote dans l’histoire des publications scientifiques aujourd’hui, pour la valeur indicative qu’elle a de l’état de la communication scientifique. Il y a une véritable difficulté de lecture et les fanfaronnades ne servent à rien pour cacher l’incapacité à assumer cette domination de la lettre dont les sujets sont les marionnettes dans la réalisation industrielle.

2. Le polynôme semi-orienté à 2-variables (polynôme de Kauffman)

Nous pouvons rapporter le polynôme de Jones à un autre polynôme ayant trait aux objets orientés quant aux ronds. N’étant pas directement obtenu par un calcul d’entrelacs, il provient d’un polynôme susceptible d’un tel calcul.

Il est invariant à l’isotopie régulière près, voici les éléments nécessaires à son calcul :

L = 1

L+ L = z ( L+ L )

L = n L          L = n^-1 L

où v(K) est toujours la vrille de l’objet K.

Le bracket-polynôme de Kauffman est un cas particulier de L, et le polynôme de Jones un cas particulier de F du polynôme de Kauffman.

Ces changements de variables donnent la relation rencontrée plus haut dans le changement de variable :

3. Le polynôme de Jones et ses dérivés

Nous disposons déjà d’un moyen de calculer le polynôme de Jones à partir du calcul du bracket-polynôme de Kauffman :

Mais il est susceptible d’un calcul d’entrelacs.

Voici les formules nécessaires à ce calcul :

V = 1

t V – t^-1 V = (t^1/2 – t^-1/2) V

Grâce à ces deux équations nous pouvons calculer ce polynôme à partir de la figure, en la décomposant par inversions et lissages successifs.

a2 - Le polynôme orienté à 2-variables (Homfly) et son calcul d’entrelacs

obtenu par le calcul de sa décomposition grâce à la formule :

P = 1

a P – a^-1 P = z P

Il correspond par le changement de variable suivant :

au polynôme de Jones :

et par le changement de variable plus simple : a = 1

au polynôme d’Alexander-Conway :

Il y a un calcul d’entrelacs du polynôme d’Alexander-Conway :

qui est facile à établir d’après ce que nous venons de dire :

Ñ = 1

Ñ – Ñ = z Ñ

Il n’a aujourd’hui qu’un rôle historique à jouer, puisque c’est de ce polynôme que les choses ont commencé à bouger dans cette orientation des recherches, le polynôme pour Alexander et le calcul d’entrelacs pour Conway.

4. Les dérivés du polynôme Homfly

Le polynôme Homfly est invariant pour les isotopies d’ambiances.

Cette expression le définit, mais il a aussi un calcul d’entrelacs.

H = 1

H – H = z H

H = a H

H = a^–1 H

Où l’on voit qu’il n’est invariant que pour les isotopies régulières. Il est sensible à la présence ou à l’absence de boucles et correspond aux objets posés sur la sphère soumis aux déformations solidaires de cette sphère M2 et T3, ce qui les différencie des isotopies d’ambiance non solidaires d’aucun support.

C’est le dernier polynôme que nous considérons ici parmi les polynômes connus. Il s’obtient grâce à un changement de variable :

et où rot(K) est la somme des cycles orientés produits par l’algorithme de Seifert, défini au premier chapitre.

Il correspond aux objets orientés posés sur le plan, c’est-à-dire la sphère trouée, et soumis aux déformations solidaires de ce plan M2 et T3.

Ce polynôme peut aussi être calculé à partir de la figure de l’objet par une déclinaison en inversions et lissages de ses croisements, soit le calcul d’entrelacs défini ainsi :

et les distinctions suivantes :

L’intérêt de ce dernier polynôme réside dans sa très grande proximité avec la figure qu’il connote et la sensibilité qu’il présente à ce que nous avons thématisé sous le titre de la dualité. Le facteur de dualité qui correspond à un déplacement du trou de la sphère. Il suffit de se reporter aux deux familles de zones déterminées par le premier temps de notre algorithme. Le déplacement du trou de la sphère s’effectue d’une zone appartenant à l’une de ces familles à une zone de l’autre. Ceci est équivalent au changement de plein et de vide dans la dualité, soit le changement du vide qui est autour de la figure d’une famille de zones à l’autre.

Nous avons convenu de considérer comme vides les zones de la même famille que celle qui est autour de l’objet considéré.

5. Les polynômes de nos coloriages

Nous multiplions chaque polynôme par le facteur mC(K) ou a’C(K) qui nécessite la présence de la surface d’empan, soit la distinction des pleins et des vides, du fait que le nombre de croisement C(K) est orienté par la torsion.

Or nous construirons le polynôme rotationnel orienté modifié, un peu différent de ceux de la série qui précède :

6. Les changements de variables

Nous recensons les correspondances dont nous avons fait état :

Nous pouvons en déduire :

1. En premier lieu, à propos de la conversion de z à z par l’intermédiaire de t. Dans les calculs effectifs, cette remarque intervient :

2. En second lieu, un calcul simple qu’il faut avoir présent à l’esprit :

a² = (ab)     a = (aa’)

a = (aa’)

Nous avons introduit une nouvelle variable m que nous couplons avec n. Dans les polynômes des cas colorés, nous trouvons d’autres correspondances aux travers des changements de variables successifs :

m =A

De façon à retrouver, entre m et n avec deux autres variables x et y, le même type de calcul qu’entre a, a’, a et b, nous posons :

Maintenant, compte tenu des exposants dont sont pourvus ces variables dans les expressions polynomiales :

où c(K) est le nombre de croisements orientés par la torsion et v(K) la vrille, soit le nombre de croisements orientés par la caractéristique, nous pouvons suivre l’effet de ce calcul dans l’expression p définie par le produit :

Or selon nos définitions correspondant aux figures :

où nous retrouvons les parties coupures et non-coupures de nos schémas plats.

Revenons aux polynômes où nous allons faire usage de ces calculs.

7. Les calculs d’entrelacs de nos polynômes

Parmi les polynômes que nous introduisons avec nos coloriages, certains d’entre eux ont un calcul d’entrelacs.C’est dire qu’ils peuvent être calculés sur la figure ou tout au moins à partir de celle-ci.

Ce sont les polynômes suivants.

Les autres polynômes nouvellement définis n’ont pas de calcul, ils sont exclusivement déductibles de ceux-ci.

Nous commencerons par donner :

Rappelons que nous l’avons défini comme :

Il se calcule grâce aux formules suivantes :

et : < K >*(A) = L*_K (A, –A³, A + A^-1)

< K >*(A) est susceptible d’un calcul grâce aux formules suivantes :

a3 - Le polynôme orienté à 2-variables (Homfly) modifié et son calcul d’entrelacs

a6 - Le polynôme rotationnel orienté modifié

Et enfin le polynôme rotationnel orienté modifié :

et les distinctions suivantes :