Présentation de la série des fascicules de résultats

Chapitre Premier - La littérature scientifique concernant les problèmes du nœud

1. Les premières approches

• a1 – J. B. Listing.
• a2 – Les précurseurs.
• a3 – Deux autres tables de nœuds.

2. Serrage du nœud au tournant du siècle

• a1 – Enlacements et nœud.
• a2 – Premiers théorèmes.
• a3 – L’aventure du lemme de Dehn.

3. Une théorie des nœuds

4. Commentaire et définition des éléments nécessaires à une théorie des nœuds

• a1 – Situation ou placement.
• a2 – Plongement et immersion.
• a3 – Identité et différence.
• a4 – Considérations de méthode.

5. Précisons la fonction principale du nœud

• a1 – La construction d’Antoine. Monstration de l’homéomorphie j, extension au voisinage torique de l’homéomorphisme f.
• a2 – Revenons sur la distinction entre intrinsèque et extrinsèque.
• a3 – Mythe ou structure de la fonction paternelle.
• a4 – Nœuds.

6. Résultats algébriques et graphiques dans l’espace autour du nœud

• a1 – Groupes.
• a2 – Surfaces de Seifert.

7. Mouvements

8. Les polynômes de nœuds et de chaînes

9. Afin de situer nos travaux

Chapitre II - La méthode de lecture de l’un nœud

1. Analyse d’un exemple de nœud — De l’usage d’une lettre.

• a1 – Récit préliminaire. — Alternance d’une présentation. — Chiffrage freudien.
• a2 – Nœud du 23 juillet 1993.
• a3 – Analyse.

2. Les trois temps algorithmiques

2.1. Premier temps : la surface d’empan

• a1 – But de ce temps.
• a2 – Procédé mis en œuvre.
• a3 – Appréciation du résultat. La surface d’empan d’une présentation.
• a4 – Le cas des présentations alternées. Nombre de croisements minimum. La surface d’empan minimale. La dualité. Surface duale. Présentation duale. Présentations équilibrées.
• a5 – Surfaces chiffonnées.

2.2. Deuxième temps : caractère orientable

• a1 – But de ce temps.
• a2 – Principe résultant du deuxième temps. Définition de la valence des zones.
• a3 – Procédé employé.
• a4 – Appréciation du résultat. Premier cas. Deuxième cas. Définition d’une présentation comme un non–nœud. Définition d’une présentation comme un nœud.
• a5 – Monstration du principe déduit du deuxième temps. 
• a6 – Le cas des présentations alternées. Présentations équilibrées. Nœuds et non–nœuds.
• a7 – Structure de la libido.

2.3. Troisième temps : la coupure

• a1 – But de ce temps.
• a2 – Procédé mis en œuvre. Différence entre un et plusieurs ronds.
• a3 – Appréciation du résultat. Coloriages et orientations. Partie nœud et partie non–nœud d’une présentation.
• a4 – Le cas des chaînes faites de plusieurs ronds.
• a5 – Les quatre interprétations du rêve de “la belle bouchère”.
• a6 – Le cas des présentations alternées. Parité de la coupure. Présentations équilibrées.

3. En résumé

4. Exercices

• e1 – Le coloriage.
• e2 – Passage de la coupure dans les plis.

1. Passage de la coupure dans un pli

2. Variation de la coupure

3. Une autre orientation dans les nœuds et les chaînes

• a1 – La torsion.
• a2 – Quatre types de croisements. Principe esthétique.
• a3 – Trois nombres remarquables. D’autres définitions.
• a4 – Chiffrage de notre exemple.

4. De la variation de la coupure

• a1 – Différence entre les croisements propres et impropres. Croisements impropres. Croisements propres.
• a2 – Principe.
• a3 – Variation topologique de la coupure.

5. De l’accomplissement de la coupure

• a1 – Résultats principaux. Résultat principal. Vrille propre.
• a2 – Chiffrage de notre exemple.
• a3 – Le nombre de la coupure.
• a4 – Variation arithmétique de la coupure.
• a5 – Première interprétation de Sp.
• a6 – De l’accomplissement de la coupure.

6. Les chaînœuds (linknots)

7. De la répartition des enlacements

• a1 – Des chaînes orientées par la caractéristique. Renl–équivalence. Pour les différents coloriages.
• a2 – Des chaînes non orientées par la caractéristique. R_S–équivalence. Passage d’une relation à l’autre. Passage dans l’autre sens.
• a3 – De la variation de la coupure toujours. Avec ou sans coupure.

8. Pour conclure

9. Exercices

• e1 – Variation de la coupure et nombre d’enlacement.
• e2 – Même exercice.
• e3 – Cas non alterné.

Chapitre IV - La déformation dans le nœud

I. Description graphique

0. Changement de présentation

• a1 – Les mouvements de Reidemeister.
• a2 – Degré des mouvements. Rappel.
• a3 – Isotopies d’ambiances et isotopies régulières.

1. Dualité

2. Isotopies régulières sur la sphère trouée ou non trouée

• a1 – Si la sphère est non trouée.
• a2 – Si la sphère est trouée.

3. Graphe des pleins et graphe des vides

• a1 – La dualité des graphes.
• a2 – Les graphes associés.
• a3 – Les formules.

1. Des enlacements — De l’enlacement au nombre de chaîne.

2. Une théorie des enlacements

• a1 – Définitions des types de mouvements de cette théorie. Les objets identiques de cette théorie ont même enlacement.
• a2 – Effectuations. Les anneaux des Borromées.
• a3 – Les gordiens de torsion différente.
• a4 – Les différents enlacements. Deux enlacements égaux sont des objets identiques. Démonstration. Les chaînœuds sont sans enlacement. Les nœuds propres sont triviaux.

6. Gordien et homotopie

• a1 – Lacan et Soury.
• a2 – Le nœud borroméen généralisé.

7. Exercices

• e1 – Changement de présentation et présentation duale.
• e2 – Graphes duaux des pleins et des vides.
• e3 – Calculs des formules élémentaires.
• e4 – État de l’enlacement.

Chapitre V - Le matériel et les sources du nœud

I. Description graphique

0. Le premier nœud premier

• a1 – La notion de nœud premier.
• a2 – Le monoïde des nœuds premiers.

1. Les nœuds coupures et les peignes

• a1 – Le nœud trèfle.
• a2 – La famille des nœuds trèfles.
• a3 – L’enlacement.
• a4 – La famille des enlacements toriques.
• a5 – Les nœuds coupures.
• a6 – Les peignes.

2. Les non–nœuds et les pur–nœuds.

• a1 – Les sections transverses. Coupures transverses. Bretelles transverses.
• a2 – Les non–nœuds et les pur–nœuds.

II. Plasticité nodale

1. Théorie des non–nœuds de un à trois ronds — L’existence des non–nœuds standard.

• a1 – Construction des non–nœuds de un à trois ronds contenus dans un nœud ou une chaîne.
• a2 – Un autre calcul de l’enlacement. Opposition des nombres duaux de coupure moyenne.

2. Théorie des enlacements à partir de quatre ronds

3. Retour à la théorie de la dimension et à l’accomplissement de la coupure — La dimension de l’espace.

4. Exercices

• e1 – Les non–nœuds comme coupures de peignes.
• e2 – Les purs–nœuds comme nœuds coupures raccordés par des bretelles.

Chapitre VI - Le travail du nœud

0. Le graphe de Terrasson

• a1 – Définition.
• a2 – Les poinçons. Le 4–poinçon. Les 2n–poinçons.

1. Les modes de composition

• a0 – Définition de la composition. Détermination des caractéristiques de la composition. Ouverture des poinçons. Retournement d’un poinçon. Composition proprement dite des deux poinçons.
• a1 – La 2–composition. Il y a quatre modes de la 2–composition. Une notion intuitive avec précision. Deuxième exemple.
• a2 – La multi–composition.
• a3 – Les deux multi–compositions extrêmes.
• a4 – La composition dans la dualité.

2. Les montages réguliers

• a1 – Définition. D’autres exemples. Troisième exemple.
• a2 – Propriété remarquable de ces montages.
• a3 – Extension à n parties, les n +1–tresses.

3. Passage des montages réguliers aux cas quelconques — Tableaux des Montages réguliers provenant des 3–Tresses.

• a1 – Ajoutons les sections transverses.
• a2 – Formalisons les sections transverses.
• a3 – Revenons à la description d’un cas quelconque. Donnons d’autres exemples de cas non alternés.
• a4 – Voilà pourquoi il y a de la complication.
• a5 – Les cas non alternables.

II. Plasticité nodale

0. Nouages

• a1 – Chiffrage des mouvements.
• a2 – Le nombre de nouage. Expression du nouage. Chiffrage de notre exemple. Invariance du nombre de nouage entre deux présentations données.

1. Interprétation de SS — Chiffrage de notre exemple.

0. Des surfaces au nœud

1. Théorie des chaînes intrinsèques et théorie du nœud

• a1 – Le mouvement nœud.
• a2 – De la théorie des nœuds extrinsèques à la théorie des chaînes intrinsèques. Les objets identiques de cette théorie ont mêmes enlacements. Deux non–nœuds équivalents sont deux objets identiques. Les chaînœuds et les nœuds propres sont sans enlacement. Relation entre les moyennes des nombres de coupure. Définition.
• a3 – Le nombre de nœud. Définition.
• a4 – Enjeu de ce nouvel invariant.
• a5 – Une théorie du nœud.
• a6 – Décomposition et T3 par G2 et N3.
• a7 – Le Trois est la raison du rapport de trois à quatre ronds.

2. Différenciation de trois types de mouvements nœuds

• a1 – Le treillis des théories du nœud.
• a2 – Précision dans le débat entre Lacan et Soury. Première question mise à jour par notre présentation.

3. Structures freudiennes de la clinique en topologie du nœud

• a0 – Folie et causalité psychique. Folie particulière… et folie collective. Alternative à l’asile. Clinique de l’asile.
• a1 – Causalité psychique avec métaphore. Le tore névrotique. Clinique de la psychanalyse. Deuxième question mise à jour par notre présentation. Dimension clinique. Principe. La perversion, le sinthome. La métaphore impropre. La structure du fantasme.
• a2 – Causalité psychique avec altération de la métaphore. Le délire de la psychose paranoïaque. La subjectivité scientifique.
• a3 – Causalité psychique et condensation. L’objet de la psychanalyse. Troisième question mise à jour par notre présentation.

4. Hétérologie du nœud

• a1 – Homologie (rappel en général). Définition.
• a2 – Trivialisation par symétrie. Le nombre de rubans et le nombre de ronds.
• a3 – Les sections transverses. Définition d’un système de sections transverses. Définition d’un système régulier de sections transverses.
• a4 – Les sections qui n’entravent pas la trivialisation. Définition de la relation d’ordre de degrés m : notée £m.
• a5 – Nombre de ronds de la chaîne maximale.
• a6 – Chaînes partielles d’une chaîne donnée.
• a7 – Définition de la relation d’homologie et nœuds homologues. Définition de la relation HSn. —
• a8 – Propriétés que nous voulons étudier par la suite. Invariance du nombre de nœud. Mouvements homologues.
• a9 – Série de chaînes et de nœuds homologues.

la représentation dans la topologie

Appendice

Éléments pour une théorie de la représentation de l’objet

Chapitre I - Coloriages et orientations

1. Le coloriage
2. L’orientation
3. La traduction
4. Accumulation

Chapitre II - L’objet petit a aux Chinois Formalisation

1. Les éléments

• a1 – Forme générale du poinçon.
• a2 – Les poinçons générateurs.

2. Les compositions

• a1 – La composition par les pleins.
• a2 – La composition par les vides.
• a3 – Le fermeur.

3. Exemples

• a1 – Deux poinçons (a’).
• a2 – Deux poinçons (a). Principe de lecture.
• a3 – L’objet petit a aux Chinois.
• a4 – L’exercice proposé.

Chapitre III - Polynômes

1. Du polynôme de Kauffman au polynôme de Jones —

• a1 – Lissage.
• a2 – Le bracket polynôme.
• a3 – Son calcul d’entrelacs.
• a4 – Le polynôme régularisé du polynôme de Kauffman.
• a5 – Le polynôme de Jones.

2. Le polynôme semi–orienté à 2–variables

• a1 – Le polynôme L_K et son calcul d’entrelacs.
• a2 – Le polynôme semi–orienté à 2–variables FK.
• a3 – Correspondances.

3. Le polynôme de Jones et ses dérivés

• a1 – Calcul d’entrelacs pour le polynôme de Jones.
• a2 – Le polynôme orienté à 2–variables (Homfly) et son calcul d’entrelacs.
• a3 – Le polynôme d’Alexander–Conway et son calcul d’entrelacs.

4. Les dérivés du polynôme Homfly

• a1 – Son polynôme régularisé HK(a, z).
• a2 – Le polynôme rotationnel orienté.

5. Les polynômes de nos coloriages

6. Les changements de variables — Deux variables.

7. Les calculs d’entrelacs de nos polynômes

• a1 – Le polynôme L*K et son calcul d’entrelacs.
• a2 – Le bracket polynôme modifié.
• a3 – Le polynôme orienté à 2–variable (Homfly) modifié et son calcul d’entrelacs.
• a4 – Son polynôme régularisé et modifié H*K(a, z).
• a5 – Calcul d’entrelacs pour le polynôme de Jones modifié.
• a6 – Le polynôme rotationnel orienté modifié.

Index, Bibliographie, Table

Index des termes

Bibliographie

• Œuvres de Freud et Scripta de Lacan accompagnés des séminaires
• Bibliographie relative à la théorie mathématique des nœuds
• Bibliographie générale

Table des matières